Modellieren in Mathematik - wie bitte?

Ein Modell oder das Modellieren verbindet man im Allgemeinen nicht direkt mit der Mathe-matik. Man verbindet damit vielleicht die gute alte Modelleisenbahn, das Matchbox-Auto oder ein Foto-Model. Gut, im schulischen Kontext hat der eine oder andere vielleicht schon von einem Atommodell in der Chemie oder vom Globus als ein Modell für unseren Planeten in der Geographie gehört. Modellieren heißt aber auch Formen und so haben wir alle schon einmal im Sandkasten modelliert. Ästhetisch wertvoller ist da schon eine modellierte Skulptur – ja, im Kunstunterricht gehört Modellieren auch zum Alltag. Aber in der Mathematik?
Dem Modellieren im Mathematikunterricht auf der Spur zu sein, das ist eine gute Möglichkeit, zugleich über aktuelle Entwicklungen im Mathematikunterricht am Hilda-Gymnasium zu berichten. Und so will ich versuchen, im Folgenden diese beiden Aspekte etwas näher zu beleuchten.

Modelle als Erklärung von Welt

In der Mathematik nehmen Modelle als Anschauungsobjekte seit jeher eine wichtige Rolle ein. Die Modelle einer Pyramide, eines Tetraeders oder eines Zylinders sind vermutlich jedem von uns schon einmal begegnet. Die Mathematik interessiert sich dann für die Eigenschaften dieser Körper, die an den Modellen konkret festgemacht werden. Ein Modell versucht die Wirklichkeit abzubilden, es versucht aber auch, die Wirklichkeit zu erklären.
Die Sichtweise auf solche Modelle kann allerdings sehr unterschiedlich sein. Ein Blick kommt von außen. Ausgehend vom abstrakten Modell sucht man nach Objekten in der Umwelt, die mit diesem Modell beschrieben werden können. Die Mathematik scheint so quasi zuerst dagewesen zu sein und die Umwelt und Natur haben sich danach gerichtet. Dieser Blick ist deduktiv, geht vom Allgemeinen aus und führt zum Besonderen. Viele haben ein Bild von Mathematik, das durch diese deduktive Sichtweise geprägt ist. Die Mathematik ist quasi gottgegeben und hat immer recht.
Leider ist dieses Bild ein unehrliches Bild von Mathematik. Denn Mathematik geht vom Konkreten, vom Erlebbaren aus. Es wird versucht, Dinge zu ordnen bzw. zusammenzufassen, die ähnliche Eigenschaften haben, und Dinge voneinander abzugrenzen, die nichts miteinander zu tun haben zu scheinen. Diese Abgrenzung erfolgt durch Eigenschaften und Besonder-heiten, die es zu entdecken gilt. Diese Sichtweise geht vom Besonderen, von der unmittelbaren Erfahrung aus, auf deren Basis dann ein Modell entstehen kann. Zuerst sind da die Bauwerke der Ägypter in Giseh oder die Verpackung von Schokolinsen und dann wird daraus ein Modell entwickelt. Diese induktive Sichtweise lässt die Mathematik authentisch sein, lässt Mathematik zum Alltag und zur Lebenswirklichkeit gehören. Denn das auf Erfahrung und Wahrnehmung entwickelte mathematische Modell kann nur gelungen sein, wenn es der Überprüfung in der Realität standhält. Die folgende Graphik stellt den mathematischen Modellbildungsprozess vereinfacht dar.

Abbildung 1: Die Chephren-Pyramide ist die mittlere der drei großen Pyramiden von Giseh (GNU-Lizenz).

Der mathematische Modellbildungskreislauf

Abbildung 2: Der Kreislauf des mathematischen Modellierens – induktive Sicht (Eigene Abbildung; die Grafiken entstammen dem folgenden Schulbuch: Mathematik. Analysis. Cornelsen-Verlag, 2002. S. 212 f.).

Die Bevölkerungsuhr tickt –
ein Unterrichtsbeispiel zu situativem und kompetenzorientierten Lernen

Abbildung 3: Grafik zur Weltbevölkerungsuhr der DSW (http://www.dsw-online.de).

Analysiert das Wachstum der Weltbevölkerung! Habt auch mögliche Folgen im Blick!

In einer ersten Phase sammeln die Schülerinnen und Schüler mögliche Untersuchungsaspekte und mögliche mathematische Strategien, zudem wird das Vorgehen geplant. Konkret ergaben sich die folgenden Problemstellungen und Aspekte:

• Daten ermitteln;
• Diagramme aus Datenbeständen für die Gesamtentwicklung und für die Entwicklung in einzelnen Regionen (Erdteilen) erstellen;
• Den Verlauf der Graphen verbal beschreiben und interpretieren;
• Verdopplungszeiträume der Entwicklungen ermitteln;
• Funktionen bestimmen, die das Wachstum beschreiben;
• Diskussion möglicher Folgen der Bevölkerungsentwicklungen; Begründung der Positionen mit Zahlen oder Graphen.

Hier muss ein grundlegendes neues Modell gewählt werden, dieses mathematisch zu erläutern, würde an dieser Stelle zu weit führen. Im Unterricht freilich wurden die mathematischen Aspekte dieses Modells erarbeitet. Das zu wählende Modell ist das Modell des logistischen Wachstums, dem die Grundidee zugrunde liegt, dass die Ressourcen, also bspw. die Nahrungsmittel, begrenzt sind. Dadurch ergibt sich die Annahme einer Sättigungsgrenze. Ein solches Modell wählen auch die Vereinten Nationen für ihre Prognosen der Weltbevölkerungsentwicklung. Die Schülerinnen und Schüler des Kurses entschieden sich nun für die Annahme einer Obergrenze von 14 Milliarden Menschen, die die Erde verkraften könnte. Dadurch ergab sich nebenstehendes Modell. Dies beschreibt sowohl die vergangene als auch die zukünftige Entwicklung relativ gut. Da das Jahr 2009 auf der x-Achse bei 82 liegt, kann mithilfe dieses Modells die Prognose gewagt werden, dass in 40 Jahren rund 10 Milliarden Menschen auf der Erde leben werden.

Dieses Ergebnis führt nun zu weiteren Überlegungen, die zu neuen Modellierungen einladen: Wie hoch ist der Nahrungsmittelbedarf in der Zukunft? Welche Migrationsbewegungen sind zu erwarten? Welche Konsequenzen ergeben sich für den Klimawandel? …

Modellieren ist ein Prozess, der es ermöglicht, in authentischen und sinnhaften Kontexten Mathematik zu betreiben. Der hier dargestellte Themenkomplex verlangt von den Schülerinnen und Schülern mathematische Fähigkeiten im Bereich der Differentialrechnung, der Differentialgleichungen und der Regression. Alles samt hoch komplexe innermathematische Bereiche. Im Rahmen von authentischen Problemen setzen sich die Schülerinnen und Schüler aber sehr gerne und sehr intensiv mit der „Hardcore-Mathematik“ auseinander. Und vor allem: Vom konkreten Problem kommend, sind mathematische Begriffe durch eine solche Vorge-hensweise viel besser fassbar und verständlich.

Das Modell des logistischen Wachstums.